WordPressのサイトをSSL化する際にはサーバー側での設定のほか、WordPressでの設定も必要になります。
まず、サーバーでのSSL 設定が済んだら下記の通りサイトのURLを変更しましょう。
[設定]-[一般] で サイトのURLを http → https に変更しておきましょう。

ワードプレス側の設定は下記のプラグイン Really Simple SSL が便利です。
Really Simple SSL の 設定項目
簡単にサイトのSSL設定ができるプラグイン Really Simple SSL
Freeでの利用でも設定項目がいろいろとあります。
オンにすることで、普段の作業に影響がある項目もあるかもしれません。
いまだ手探り状態です。
Freeの利用では Progress 60% ~ 75% 程度でしょう。
下記のサイトを参考に設定してみました。
現時点ので設定項目を下記に記しておきます。
全般
「混在コンテンツの修正機能」は「ON」
「混在コンテンツの修正機能-initのフック」、「混在コンテンツの修正機能-バックエンド」は問題が起きた時点で「ON」

堅牢化
不具合等もあるため現状すべてOFFにしておいた方がよいとのこと。
